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YOU are better than YOU think. Show yourself
how:
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<| (o) (o) |>
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Logic
chapters 1 to 5 re- appear not in sequence, as is or longer, in
Volume 1A, Pattern Based Reason,
Bon Appetite.
Logic
Mastery
Amazing, Amusing, Amorous, Delicious, Delightful, Edifying,
Strengthening Elixir.
It eases work & learning difficulties Makes the hard easier. Opens eyes.
Leads to greater precision.
in reading and
writing
Logic
mastery makes the hard, easier. Logic
mastery leads to better, stronger and richer comprehension. Logic
mastery improves reading and writing. Logic
mastery ease learning difficulties. Logic
mastery gives a headstart. In sum, logic
mastery will develops critical thinking, improve reading and writing,
and give a firmer base for work and studies at many levels. Good luck.
After logic,
(a) continue reading Three
Skills for Algebra, chapters 8 to 14 and do so alongside site area on solving
liinear Equations ; or (b) see this calculus
starter lesson and Volume 3, Why
Slopes & More Math, chapters 2 to 6;
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<| (o) (o) |>
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\ = /
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Caution: Site advice is approximately
correct, for some circumstances, not all. That leaves room for thought |
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What may be learnt and when depends on how skills
and concepts are developed. Making the hard easier and clearer will allow
earlier & richer development of skills and concepts.
Try the Twiddla
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Réponses aux problèmes d'arithmétique et d'algèbre
- Mises à jour et (c)
droits d'auteur: Alan Selby, Juin 1995.
I. Matériel élémentaire
Faire les opérations indiquées sans calculatrice; puis vérifier vos réponses
avec une calculatrice.
1. Trouver la somme des trois nombres suivants: 456 + 76 + 312.
Réponse: La somme est 844.
2. Calculer le produit de 176 et 86.
Réponse: Le produit est 15 136.
3. Soustraire 2396 de 4892.
Réponse: le reste de 4892 moins 2396 est 2496.
Vérification: La somme de 2496 et 2396 est 4892.
4. Calculer 1416 divisé par 813 avec 3 décimales.
Réponse: (1416/813) = 1,742 (trois décimales).
5. Calculer le reste de 2396 moins 4892.
Réponse: 2396-4892 = -(4892-2396) = -(2496) = -2496.
II Matériel élémentaire (suite)
Simplifier si possible. Souvenez-vous que les opérations entre
parenthèses () ôu [] doivent être faites en premier.
1. A = (4 divisé par 5) divisé par 3.
Réponse: A = (4/5)(1/3) = 4/15
2. B = 4 divisé par (5/3).
Réponse: B = 4(3/5) = 12/5 or 2,4
3. C = 4 multiplié par (5 multiplié par 3).
Réponse: C = 4 multiplié par (15) = 60.
4. D = (4 multiplié par 5) multiplié par 3.
Réponse: D = (20) multiplié par 3 = 60.
5. E = (4 - 5) - 3.
Réponse: E = (-1)-3 = -4.
6. F = 4 - (5 - 3).
Réponse: F = 4-(2) = 2
7. G = 4 - 5 -3.
Réponse: G = 4-(5+3) = 4-8 = -4. .
8. H = racine carrée de 3**2 = racine(3**2)
Réponse: H = 3. Ce nombre est la racine carrée
principale.
L'autre racine est -3. (Cette question est ambigüe --
si on ne
suit pas la convention que l'expression racine carreé
dénote la
racine principale. On suit cette convention
ici et à-de sous.
Remarque que la notation 3**2 signifie (3 multiplié par 3) =
9.
9. I = racine carrée de (-3)**2.
Réponse: I = racine carrée de 9 = racine carrée de 3**2 =
3 en
accord avec la convention que la racine carrée d'une
nombre égale
sa racine carrée principale. La r&eponse -3 est
mal -- pas bon.
10. J = racine carrée de 4**2.
Réponse: J = 4.
11. K = racine carrée de (4**2+3**2).
Réponse: K = racine carreé de (16 +9) = racine carrée de
(25) = 5.
12. L = racine carrée de (4**2 + (-3)**2).
Réponse: L = racine carrée de 25 = 5.
13. M = (5/4) divisé par [ (8/7) divisé par (9/5) ]
Réponse: M = (5/4) divisé par [(8/7) multiplié par (9/5)]
Donc M = (5/4) divisé par [(8 multiplié par 9)/(7
multiplié par 5)]
= (5/4) multiplié par [( 7 multiplié par 5)/(8 multiplié
par 9)]
Donc M = (5/4) multiplié par (35/72)
= (5 multiplié par 35)/(4 multipli par 72)
= 175/288 = 0,60764 (approximativement).
Remarque: J'aime mieux la réponse exacte (175/288) mais la
réponse
approximitive est accepté today seulement. On peux
donc obtenir
une réponse de plusieurs façons.
14. N = [(5/4) divisé par (8/7)] divisé par (9/5)
Réponse: N = [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par
(5/9).
Remarque: La division par un rapport (p/q) donne le même
resultat
que multiplié par la réciproque (q/p).
Donc N = [(35)/(32)] multiplié par (5/9) = (35 multiplié
par 5)/(32
multiplié par 9) = (175)/(288) = 175/288 again.
15. O = (5/4) multiplié par [ (7/8) multiplié par (9/5) ]
Réponse: O
= (5/4) multiplié par [ (7/8) multiplié par (9/5) ]
= (5/4) multiplié par (7 multiplié par 9)/(8 multiplié par
5)
= (5 multiplié par (7 multiplié par 9))/(4 multiplié par
(8
multiplié par 5))
= (7 multiplié par 9)/(4 multiplié par 8) = 63/32
Remarque: La lettre O a une apparance trop près du chiffre
0.
Donc, la
lettre O ne devrait pas servir de symbole representant un
nombre ou
montant. Donc, en posant le problem, l'utilisation de
la lettre O
est une erreur -- je trompe.
16. P = [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par (9/5)
Réponse: P
= [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par (9/5) ]
= [(5 multiplié par 7)/(4 multiplié par 8)] multiplié par
(9/5)
= ((5 multiplié par 7) multiplié par 9))/((4 multiplié par
8) multiplié par
5)
= (7 multiplié par 9)/(4 multiplié par 8) = 63/32
17. Q = (5/4) divisé par (7/8) divisé par (9/5)
Réponse: La signification de lexpression
(5/4) divisé par (7/8) divisé par (9/5) n'est pas claire.
Peut-être, cette
expression représente le calcul:
[(5/4) divisé par (7/8)] divisé par (9/5) ou le calcul
(5/4) divisé par [(7/8) divisé par (9/5)].
Chaque expression donne un valeur différent. La
réponse correcte
est de dire que cet problèm est mal posé.
L'expression pour Q n'est
pas bien defini. Ce problèm est un piège. Ce
piège a dèjá fait bien
des victimes.
18. R = racine(16) + racine(9) - racine(25) óu racine(4) = racine
carrée de 4.
Réponse: R = 4+3 - 5 = 2
19. S = (3,1416)**0
Réponse: S = 1
20. T = (3,1416) - 22/7
Réponse: T = 3,1416 - 3,142857143 = -0,001257143
approximativement. La réponse T n'est pas égale
0. Chacun des deux
nombre 3,1416 et 22/7 est une approximation inexacte et
differente
du nombre pi.
21. U = pi - 3,1416
Est-ce que U = 0?
Réponse: Non, pi n'est pas exactement égale avec 3,1416
Une meillieure approximation de pi est 3,141592654 mais
encore
cette approximation n'est pas exacte. L'expansion
décimale du
nombre pi est infinie, sans arrêt, et sans repétition
périodique.
Les mathématiciens on démontr&eactue; au dans la
dix-huitième
siècle que le nombre pi n'est pas un
rapport. Cela veut dire
que pi n'est pas une nombre égale au
p/q óu que p et q sont des
nombres entiers.
Seulement les rapports ont des expansions décimale fini óu
periodiques. Un nombre a est d&ecimal fini óu
périodique si et
seulement si le nombre égale un rapport (p/q).
Faison maintenant l'hypothèse que U = pi - 3,1416.
Donc U est
approximativement 3,14159264-3,1416 = 0,000007346, un
résultat qui
n'égale pas zero. Mais cette resultat, la difference,
is plus
petit que 1/(10**5).
Le peurcentage d'erreur est plus petite que 0,0003. Par
contre,
l'approximation de pi par 22/7 donne une erreur prés de
0,001257,
ou un peurcentage erreur ´ peu pres 0,04 pour
cent.
22. V = racine(4**2-5**2)
Réponse: V = racine ( 16-25) = racine (-9) Cette racine
carrée
n'est pas
définie (si vous n'avez aucune connaissance de la racine
racine
carrée de -1 et des nombres
complexes.
Exercices de Calculatrice.
III. Mettez votre calculatrice en mode "degree"
1. Trouver óu calcul: sin (90 degrees)
Réponse: 1
2. Trouver óu calcul: sin (180 degrees)
Réponse: 0.
3. Trouver óu calcul: sin (0 degrees)
Réponse: 0
4. Trouver óu calcul: sin (270 degrees)
Réponse: -1
5. Trouver óu calcul: sin (-90 degrees)
Réponse: -1
6. Trouver óu calcul: sin (-720 degrees)
Réponse: 0
7. Trouver óu calcul: cos (90 degrees)
Réponse: 0
8. Trouver óu calcul: cos (180 degrees)
Réponse: -1
9. Trouver óu calcul: cos (360 degrees)
Réponse: 1
10. Trouver óu calcul: cos (0 degrees)
Réponse: 1
11. Trouver óu calcul: cos (-90 degrees)
Réponse: 0
12. Trouver óu calcul: cos (-720 degrees)
Réponse: 1
IV. Mit votre calculatrice en mode "radian"
1. Trouver óu calcul: sin ((pi/2) radians)
Réponse: 1
2. Trouver óu calcul: sin ( pi radians)
Réponse: 0
3. Trouver óu calcul: sin (0 radians)
Réponse: 0
4. Trouver óu calcul: sin ((3/2)pi radians)
Réponse: -1
5. Trouver óu calcul: sin (-pi/2 radians)
Réponse: -1
6. Trouver óu calcul: sin (-4pi radians)
Réponse: 0
7. Trouver óu calcul: cos (pi/2 radians)
Réponse: 0
8. Trouver óu calcul: cos (pi radians)
Réponse: -1
9. Trouver óu calcul: cos (2pi radians)
Réponse: 1
10. Trouver óu calcul: cos (1,5 pi radians)
Réponse: 0
11. Trouver óu calcul: cos (-pi/2 radians)
Réponse: 0
12. Trouver óu calcul: cos (-4pi radians)
Réponse: 1
Caution: les valeures calculer en touche les boutons sine, cosine, tangent et
tout les autres boutons trigonometrique donne des resultat dependant sur les
"units" de mesure.
V. Exercices avec les autres operations d'une calculatrice.
1. Trouver exp( 2 ln(5)) or e**(2 ln(5))
Réponse: 25 = 5**2 in both cases
2. Trouver 10**( 2 log(5) )
Réponse: 25
3. Trouver 10**( log(25) )
Réponse: 25
4. Trouver ln(exp(6,2)) or ln( e**(6,2))
Réponse: 6,2 in both cases.
5. Trouver la racine sixieme de (16)**12
Réponse: 256 = 16**2
6. Trouver [(16)**12]**(1/6)
Réponse: 256
7. Trouver 1+3+3**2+3**3+3**4+3**5+3**7
Réponse: 2551
8. Trouver [-1+3**7]/[-1+3]
Réponse: 1094
9. Trouver [1-3**7]/[1-3]
Réponse: 1094
10. Trouver 1+(1,06)+(1,06)**2+(1,06)**3
Réponse: 4,374616
11. Trouver [-1+(1,06)**4]/[-1+1,06]
Réponse: 4,374616
12. Trouver [(1,06)**4-1]/[1,06-1]
Réponse: 4,37416
13. Trouver [-1+(1,06)**4]/[0,06]
Réponse: 4,37416
14. Trouver [1+(1,02)**(1)+(1,02)**(2)+(1,02)**(3)+(1,02)**(4)]
multiplié par (1,02)**(-4)
Réponse: 4,80773 (une approximation)
15. Trouver [(1,02)**(5)-1]/[1,02-1] multiplié par (1,02)**(-4)
Réponse: 4,4416 (une approximation)
16. Trouver 1+(1,02)**(-1)+(1,02)**(-2)+(1,02)**(-3)+(1,02)**(-4)
Réponse: 4,4416 (une approximation)
17. Trouver (1,02)**(-4)+(1,02)**(-3)+(1,02)**(-2)+(1,02)**(-1)+1
Réponse: 4,4416 (une approximation)
18. Trouver [(1/1,02)**(5)-1]/[(1/1,02)**(1)-1]
Réponse: 4,80773 (une approximation)
VI. Plusieur Exemples de Calculation (sans calculatrice)
1. Simplifier, si defini, [(4/5) divisé par (24/35)] divisé par (2/7)
Réponse: A = [(4/5) multiplié par (35/24)] multiplié par
(7/2)
= [7/6] multiplié par (7/2) = 49/12
2. Simplifier, si defini, (4/5) divisé par [(24/35) divisé par (2/7)]
Réponse: B = (4/5) divisé par [(24/35) multiplié par
(7/2)]
= (4/5) divisé par [(24 multiplié par 7)/(35 multiplié par
2)]
= (4/5) multiplié par [(35 multiplié par 2)/(24 multiplié
par 7)]
= (4/5) multiplié par [ 35/(12 multiplié par 7)]
= (4 multiplié par 35)/(5 multiplié par (12 multiplié par
7)
= 4/12
= 1/3 Ce resultat n'est pas la même que 49/12.
3. Simplifie, si defini, (4/5) divisé par (24/35) divisé par (2/7)
Réponse: Ce expression n'est pas une signification defini.
L'ordre
d'operation (division) doit être indique´ par des
parentheses.
L'order determine la resultat.
VII. Un mélange de problémes d'algébre et d'arithmétique
1. Simplifier (1+x+x**2+x**3)/(x-1)
Réponse: Aucune simplification est possible (oops).
2. Facteur x**2+5x+6 Réponse: Pairs de facteurs entiere de 6 sont
6 et 1
-6 et -1
2 et 3, et
-2 et -3.
La somme des chiffres 2 et 3 est cinq.
En plus, (x+a)(x+b) = x**2+(a+b)x+ab (pourquoi?)
Donc (x+2)(x+3) = x**2+(2+3)x+(2)(3) = x**2+5x+6
3. Resoudre 0 = (x-1)(2x+4)(3-x). (Il ya trois nombres dans la
réponse)
Réponse: La produit (x-1)(2x+4)(3-x) peut être 0 si est
seulement
si ou moins un des facteurs est 0.
Le premier facteur x-1 = 0 quand et seulement quand x =
1.
Le deuxieme facteur 2x+4 = 0 quand et seulement quand
2x = -4 or x = -2.
Le troisime facteur 3-x = 0 quand et seulement quand x =
3.
Donc x = 1, -2 or 3 implique une des facteur égale zero, et
donc
leur produit (x-1)(2x+4)(3-x) = 0 aussi.
4. Facteur x**3-x
Réponse: x**3-x = x (x**2 -1) = x(x-1)(x+1)
5. Simplifier (x+1)(x+3x**2)-[(x+1)x+(x+1)3x**2)]
Réponse: (Yuck!): (x+1)(x+3x**2)-[(x+1)x+(x+1)3x**2)]
= [(x+1)(x+3x**2)-(x+1)[x+3x**2)]
= 0
6. Simplifier 13**2-5**2-(13+5)(13-5)
Réponse: 0
7. Simplifier 7- racine(3**2+4**2)
Réponse: 7 - racine(3**2+4**2)
= 7 -racine(9+16) = 7 -racine(25) = 7-5 = 2
8. Simplifier [(3/7)**13 multiplié par
( (4x**2)/((3**2 multiplié par 7**3)**5]
Réponse:
[(3/7)**13 multiplié par ( (4x**2)/(3**2 multiplié par 7**3) )**5]
= [(3**13/7**13) multiplié par ( (4**5x**10)/(3**10
multiplié par
7**15)]
= ((3**13 multiplié par 4**5 multiplié par x**10)/(7**13
multiplié
par 3**10 multiplié par 7**15)
= ((3**3 multiplié par 4**5 multiplié par x**10)/(7**28)
= ( 3**3 multiplié par 4**5 multiplié par x**10)(7**28)
9. Simplifier [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(2x+2)-2x**2+2)]
Réponse: [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(2x+2)-2x**2+2)]
= [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(x+1)2-2x**2+2)]
= [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x**2-1)2-2x**2+2)]
[(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][0] = 0
10. Calculer f(4) si f(x) = racine(25-x**2).
Réponse: f(4) = racine(25-4**2) = racine(25-16) = racine(9)
= 3
11. Trouver les racines des equationes: (x,y) si x+y = pi et y-x =
1.
Réponse: (Il y a plusieur facon de trouver les racines).
pi+1 = (x+y)+(y-x) = 2y.
Donc 2y = pi+1 et puis y = (pi+1)/2.
y-x = 1 donne y = 1+x or y-1 = x. Donc,
x = y - 1 = (pi+1)/2 - 1
= (pi+1)/2 -2/2 = (pi+1-2)/2 = (pi-1)/2.
Donc (x,y) = ( (pi-1)/2 , (pi+1)/2 )
12. Exprimer avec des exposant positifs seulement:
[2 multiplié par 3**2multiplié par y**3z**(-3)t**3)**(-2)]
multiplié par [3**3x**4y**(-5)]**2
Réponse: A
= [2 multiplié par 3**2multiplié par
y**3z**(-3)t**3)**(-2)]
multiplié par [3**3x**4y**(-5)]**2
= [2**(-2) multiplié par 3**(-4)multiplié par
y**(-6)z**6t**(-6)]
multiplié par [3**6x**8y**(-10)]
= [z**6/(2**(2) 3**(4) y**(6) t**6)] [3**6x**8/(y**10)]
= (z**6 3**6 x**8)/(2**(2) 3**(4) y**(16) t**6)
= (z**6 3**2 x**8)/(2**(2) y**(16) t**6)
13. Trouver x if (x-10)(x-3) = 0 et x > 4
Réponse: L'equation (x-10)(x-3) = 0 a deux racine: x = 10 et
x = 3.
Mais cet equation a seulement une racine plus grand que 4, et
ce
racine est x = 10. Donc x = 10.
14. Trouver x si 4 = 1/(x+1)
Réponse: 4 = 1/(x+1) est vrai quand et seulement quand
4(x+1) = 1,
ou
x+1 = 1/4. Ce dernier equation est vrai quand et
seulement quand x
= (1/4)-1 ou x = -3/4.
Verification: 1/((-3/4)+1) = 1/(1/4)
= 1 divisé par 1/4 = 1 multiplié par 4/1 = 4
15. Trouver z if z = 2x+3, t = 3**2, x = 4t+1 et y = y**2
Premiere Réponse: t = 3**2 gives x = 4t+1 = 4(3**2)+1 et
donc z =
2x+3 = 2(4(3**2)+1)+3.
Simplification donne z = 2(4(9)+1)+3 = 2(36+1)+3 = 2(37)+3 =
74+3 =
77.
Deuxieme Réponse: z = 2x+3 = 2(4t+1)+3 = 2(4(3**2)+1)+3 = .
. . = 77
comme avant.
Third Réponse: z = 2x+3 = 2(4t+1)+3 = 8t+2+3 = 8t+5
= 8*9+5 = 72+5 = 77
VIII. Utilisation de formulaire de somme
1. La somme des puissance cubique des entieres 1 à 4 est S =
1+2**3+3**3+4**3. Trouver le valeur de la nombre
S.
Réponse: S = 1+8+27+64 = 100
2. Calculer [(1/2)4(4+1)]**2 = [(1/2)4(5)]**2
Réponse: [(1/2)4(4+1)]**2 = [(1/2)4(5)]**2 = [10]**2 =
100.
3. Si n est un entiere positif, alors que la somme des puissances
cubiques des entieres 1 à n est S(n)
= [(1/2)n(n+1)]**2.
Pourquoi est une debte intellectuel.
Utiliser ce formule et
resoudre les problemes
suivantes.
la somme de puissance cubique des
entieres 1 à 5
Réponse: S(5) = [(1/2)5(6)]**2 =
15**2 = 225
la somme de puissance cubique des
entieres 1 à 15
Réponse: S(15) = [(1/2)15(16)]**2 =
[15(8)]**2 = [120]**2 =
14400
la somme de puissance cubique des
entieres 1 à 30
Réponse: S(30) = [(1/2)30(31)]**2 =
[15(31)]**2 = [465]**2 =
216225
Dans ce dernier probleme, laquel requis la plus petite montant de
travail: l'utilisation de la formule S(n) =
[(1/2)n(n+1)]**2 ou l'addition direct des 30 cubiques
1**3, 2**3, . . . , 29**3, 30**3. Réponse: C'est claire, n'est pas?
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La raison basée sur les
règles et modelés
La raison basée sur les règles et modelés -
Chapitres 1 à 7 et 12 tirez du livre
Volume 1A, Pattern
Based Reason
(en anglais)
1 Introduction
2 La communication des idées
3 Les éléments de la raison
4,0 introduction
4,1 premiere enigme
4,2 deuxieme enigme
4,3 uni- ou bi-directionnel
4,4 Parlons de la logique
4,5 Implication ou Suggestion
4,6 engagement : uni- ou
bi-directionnel
4,7 répétables et reproductibles
4,9 les regles accidentaux
4,10 Etapes pour la raison
5 Deception
6 Les chaînes de la raison
7 Des chaînes plus longues
de la raison
7 Principe de l’induction
mathématique
12 îles et divisions de la
connaissance
Les Chapitres 3, 4, 6, 7 et 12
= la version francais des chapitre 2 à 5 dans la livre Three
Skills for Algebra
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