Une leçon d'algèbre
(c) droits d'auteur: Alan Selby - Juin 1995.
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[M@TH en Ligne]; [Lexique
Mathematique] : www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/panorama/panorama.html
Trois notions qui mènent à l'algèbre ou un premier aperçu des
mathématiques
Vous possédez bien les trois notions ci-dessous et pouvez les appuyer
d'exemples: est-ce suffisant pour vous permettre de maîtriser la façon
algébrique d'écrire et de raisonner tout comme vous maîtrisez déjà
l'arithmétique? Après tout, n'avons-nous pas déjà fait des apprentissages
plus difficiles lorsque nous avons appris à parler, à écrire, à discuter et
même à faire de l'arithmétique? A l'école primaire, nous avons maîtrisé
les deux premières notions, soit l'habileté de parler des chiffres et des
nombres, de même que l'habileté d'avoir recours à des mots ou à de simples
formules pour décrire des calculs. Ce sont ces notions que nous explorons dans
les paragraphes qui suivent.
- Nous pouvons parler de chiffres et de nombres sans faire
d'arithmétique. Ainsi, les chiffres et les nombres peuvent être gros,
petits, connus ou non, mesurés, constants ou non, privés, secrets,
confidentiels, embarassants ou on peut tou simplement les oublier! Vous
pouvez connaître un chiffre, une mesure ou un nombre alors que je l'ignore.
Il y a plusieurs façons de parler de chiffres et de nombres. Nous avons
tous l'habileté d'en parler. Il s'agit d'une branche des mathématiques qui
ne fait pas appel à l'arithmétique. En choeur: faire de l'arithmétique
avec minutie n'est qu'un aspect des mathématiques.
- Sans faire appel à l'arithmétique, nous pouvons décrire les
calculs que nous voulons faire, éviter de faire ou que nous voulons confier
à quelqu'un d'autre. La description donne une recette ou une formule à
suivre pour effectuer le calcul. La description peut n'être composée que
de mots ou utiliser un système de notation (formules). Cette codification
vaut mille mots. Le premier service que les mathématiques rendent aux
autres disciplines consiste à fournir des descriptions de calculs qui
peuvent être faits et répétés aussi souvent que nécessaire. En
choeur: faire de l'arithmétique avec minutie n'est qu'un aspect des
mathématiques.
- Nous pouvons modifier la façon dont on calcule (ou mesure) les
nombres et les quantités. Différents calculs ou mesures peuvent donner
les mêmes résultats, en accord avec les règles et propriétés que
définit l'arithmétique. (On aura recours à un système de notation pour
décrire ces règles. Cette codification joue donc ici un deuxième rôle.)
Un calcul peut en remplacer un autre, lorsque les deux donnent le même
résultat. Cette notion de substitution permet d'obtenir le même résultat
à partir de différents calculs et de décrire ces divers calculs. En
choeur: faire de l'arithmétique ou utiliser des nombres dans une formule ne
constituent qu'un aspect des mathématiques.
Le premier service que les mathématiques rendent aux autres disciplines
consiste à décrire les calculs qui peuvent être faits. La création de
nouveaux calculs en modifiant des formules existantes (la notion de
substitution) permet aux mathématiques de rendre un deuxième service à toutes
les disciplines qui utilisent l'arithmétique.
Les notions mathématiques qui succèdent à l'arithmétique sont
basées sur la façon algébrique d'écrire et de penser ou raisonner, de même
que sur l'habileté à lire avec précision les règles et les définitions.
En choeur: faire de l'arithmétique avec minutie n'est qu'un aspect des
mathématiques.
Description des calculs
On peut avoir recours aux mots pour donner les instructions qui
permettent de calculer des périmètres, des surfaces, des volumes, etc. Dans ce
cas-ci, les formules, un système de notation qui décrit les calculs, ne sont
pas nécessaires et peuvent même devenir une distraction. Par exemple, on peut
calculer la superfice A d'un rectangle en multipliant sa largeur W par sa
longueur L. La codification de ce calcul dans la formule A = W x L exige que
vous compreniez le rôle des symboles A, W et L.
Les formules sont brèves par rapport aux descriptions en mots, mais
elles ne sont pas nécessaires pour les calculs simples. Pour des calculs plus
complexes, les mots ne suffisent pas et la codification devient nécessaire,
bien qu'il soit plus facile de la voir sur papier que de la lire à voix haute (ou
basse). Voici un exemple, la formule du calcul de l'intérêt composé:
A = P*(1+i)n
Pour utiliser cette formule, il faudra que vous connaissiez la
signification ou le rôle des symboles. Dans ce cas-ci, (1+i)**n veut dire que
vous devez multiplier le nombre (1+i) par lui-même n fois. Un autre exemple de
formule est celui de la solution d'une équation quadratique:
x = (-b +/- sqrt(b2 - 4ac))/ (2a)
Sans trop s'arrêter à la signification même de cette formule, il est
quand même évident qu'il est plus facile de la voir sur papier que de la lire
à haute voix. Une image vaut mille mots et il en va de même pour la
codification illustrée ci-dessus. Ce système de notation est donc très utile
lorsque vient le temps de décrire ou de modifier la façon dont on fait, ou
pourrait faire, les calculs.
Deux définitions d'une variable
Première définition: variable sans symboles. On peut parler
des nombres et des quantités et identifier ceux qui peuvent ou non varier, de
même que ceux qui sont constants, connus ou non, donnés ou confidentiels. Dans
ce cas-ci, un nombre ou une quantité qui varie ou dont la valeur change, selon
le cas, s'appelle une variable. On peut parler de variables sans avoir
recours à un système de notation (lettres ou symboles) tel qu'utilisé en
algèbre.
Deuxième définition: variable avec symboles. Les formules
utilisent un système de notation (lettres ou symboles) pour représenter des
nombres et des quantités. On peut donc en conclure qu'une lettre ou un symbole
qui sert à représenter un nombre ou une quantité qui peut varier s'appelle
aussi une variable.
Remarque: L'association des lettres et symboles et des nombres
et quantités qui varient est si bien intégrée dans la façon algébrique de
penser et de raisonner (pour les adeptes des mathématiques) qu'on en arrive à
oublier qu'il est possible de parler de variables sans faire référence à des
symboles.
Cette leçon est tirée du livre Three
Skills For Algebra; (c) droits d'auteur: Alan Selby, 1995.
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4 Leçons en Mathematiques
Problèmes d'algèbre et d'arithmétique
Réponses au problèmes
Algèbre
Définition d'une variable
Logique
Liens
La raison basée sur les règles et modelés - Chapitres 1
à 7 et 12 tirez du livre
Volume 1A, Pattern
Based Reason
(en anglais)
1 Introduction
2 La communication des idées
3 Les éléments de la raison
4,0 introduction
4,1 premiere enigme
4,2 deuxieme enigme
4,3 uni- ou bi-directionnel
4,4 Parlons de la logique
4,5 Implication ou Suggestion
4,6 engagement : uni- ou
bi-directionnel
4,7 répétables et reproductibles
4,9 les regles accidentaux
4,10 Etapes pour la raison
5 Deception
6 Les chaînes de la raison
7 Des chaînes plus longues
de la raison
7 Principe de l’induction
mathématique
12 îles et divisions de la
connaissance
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